2025年北京師范大學(xué)碩士研究生招生考試《812專(zhuān)業(yè)綜合》考試大綱

高等代數(shù)（分值：85）

參考書(shū)：

《代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》(上)，張英伯，王愷順，北京師范大學(xué)出版社；

《高等代數(shù)學(xué)》第三版，姚慕生，吳泉水，謝啟鴻。

一、總體要求

1．掌握基本的代數(shù)運(yùn)算方法,包括：行列式的計(jì)算，矩陣運(yùn)算（乘法、求秩、判別方陣的可逆性及求逆、求方陣的特征值及特征向量），線(xiàn)性方程組解的判定及求解，多項(xiàng)式運(yùn)算（帶余除法，輾轉(zhuǎn)相除法）.

2.掌握基本的代數(shù)分析技巧，包括：向量的線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)性，向量空間的基與維數(shù)，線(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu),線(xiàn)性變換和矩陣的關(guān)系，方陣可相似對(duì)角化的判定,對(duì)稱(chēng)矩陣與二次型，多項(xiàng)式的整除性及因式分解.

3.掌握代數(shù)的基本幾何背景，理解代數(shù)與幾何的關(guān)系，包括：歐氏空間與酉空間，正交變換與正交矩陣, 酉變換與酉矩陣，對(duì)稱(chēng)變換與對(duì)稱(chēng)矩陣, 實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化，最小二乘解，對(duì)偶空間與雙線(xiàn)性函數(shù).

二、考試內(nèi)容

第一部分 多項(xiàng)式

1.數(shù)域, 一元多項(xiàng)式的定義和基本運(yùn)算；

2.多項(xiàng)式的帶余除法，多項(xiàng)式整除性理論；

3.多項(xiàng)式的最大公因式，輾轉(zhuǎn)相除法；

4.不可約多項(xiàng)式，多項(xiàng)式的唯一因式分解定理，多項(xiàng)式的重因式；

5.多項(xiàng)式函數(shù)與多項(xiàng)式的根；

6.代數(shù)基本定理，復(fù)數(shù)域和實(shí)數(shù)域上多項(xiàng)式；

7.有理數(shù)域和整數(shù)環(huán)上的多項(xiàng)式，Eisenstein判別法；

8.多元多項(xiàng)式的概念及字典排列法，對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式及其基本定理.

第二部分 行列式

1.排列、n階行列式的定義；

2.n階行列式的性質(zhì)和基本計(jì)算；

3.代數(shù)余子式、行列式按一行（列）展開(kāi)；

4.克萊姆法則；

5.Laplace定理.

第三部分 線(xiàn)性方程組

1.線(xiàn)性方程組求解的消元法；

2.矩陣的秩，用矩陣的初等變換求秩；

3.線(xiàn)性方程組可解的判別法；

4.兩個(gè)多項(xiàng)式的結(jié)式和多項(xiàng)式的判別式.

第四部分 矩陣

1.矩陣的線(xiàn)性運(yùn)算、乘法及轉(zhuǎn)置；

2.矩陣可逆的判定條件及性質(zhì)，用初等變換求可逆矩陣的逆；

3.矩陣乘積的行列式與秩；

4.矩陣的分塊及其運(yùn)算技巧.

第五部分 向量空間

1.向量空間的定義和例子；

2.向量組的線(xiàn)性相關(guān)和線(xiàn)性無(wú)關(guān)性，向量組的極大無(wú)關(guān)組；

3.向量空間的基與維數(shù)，過(guò)渡矩陣及坐標(biāo)變換公式；

4.子空間、子空間的交與和；

5.向量空間的同構(gòu)及其性質(zhì)；

6.矩陣的行秩和列秩，齊次線(xiàn)性方程組的解空間與基礎(chǔ)解系.

第六部分 線(xiàn)性變換

1.線(xiàn)性映射和線(xiàn)性變換的定義及例子；

2.線(xiàn)性變換的運(yùn)算和矩陣的關(guān)系；

3.線(xiàn)性變換的不變子空間及其性質(zhì)；

4.方陣的特征值和特征向量；

5.可以對(duì)角化的矩陣；

6.極小多項(xiàng)式與Cayley-Hamilton定理;

7.向量空間的準(zhǔn)素分解，矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形；

8.矩陣的有理標(biāo)準(zhǔn)形.

第七部分 歐氏空間和酉空間

1.向量的內(nèi)積和歐氏空間的定義；

2.規(guī)范正交基，Schmidt正交化方法；

3.正交變換與正交矩陣；

4.對(duì)稱(chēng)變換與對(duì)稱(chēng)矩陣，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的正交相似對(duì)角化；

5.向量到子空間的距離，最小二乘解；

6.酉空間與酉變換.

第八部分 二次型

1.二次型與對(duì)稱(chēng)矩陣，矩陣的合同關(guān)系；

2.復(fù)數(shù)域上的二次型及其典范形；

3.實(shí)數(shù)域上的二次型，慣性定律；

4.正定二次型與正定矩陣，實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣正定的判定條件.

第九部分 雙線(xiàn)性函數(shù)

1.線(xiàn)性函數(shù)與對(duì)偶空間；

2.雙線(xiàn)性函數(shù)及其度量矩陣；

3.對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù)，反對(duì)稱(chēng)雙線(xiàn)性函數(shù).

空間解析幾何（分值：65分）參考書(shū)：

1.空間解析幾何（第四版），高紅鑄，王敬庚，傅若男，北京師范大學(xué)出版社

2.解析幾何，尤承業(yè)，北京大學(xué)出版社

3.解析幾何（第三版），丘維聲，北京大學(xué)出版社一、向量代數(shù)

考試內(nèi)容

?向量及其線(xiàn)性運(yùn)算，向量的內(nèi)積、外積、混合積、雙重外積。

考試要求

?1、熟練進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算，會(huì)用線(xiàn)性運(yùn)算處理共線(xiàn)、共面問(wèn)題，掌握定比分點(diǎn)的公式和應(yīng)用。

?2、利用內(nèi)積處理長(zhǎng)度、夾角、垂直等有關(guān)問(wèn)題。

?3、利用外積處理面積、夾角、平行等有關(guān)問(wèn)題。

?4、利用混合積處理體積、共面等有關(guān)問(wèn)題。

二、平面與直線(xiàn)

考試內(nèi)容

?坐標(biāo)系與坐標(biāo)系中的向量運(yùn)算，空間中的平面方程，空間中的直線(xiàn)方程，平面與直線(xiàn)的有關(guān)問(wèn)題，距離。

考試要求

?1、在直角坐標(biāo)系和仿射坐標(biāo)系中熟練進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算，在右手直角坐標(biāo)系中熟練進(jìn)行向量的內(nèi)積、外積、混合積等運(yùn)算，掌握坐標(biāo)系中距離、夾角、定比分點(diǎn)等的計(jì)算和應(yīng)用。

?2、掌握空間中平面的點(diǎn)法式方程、三點(diǎn)式方程、截距式方程，判斷兩平面的位置關(guān)系，會(huì)求兩平面的夾角。

?3、掌握空間中直線(xiàn)的點(diǎn)向式方程、兩點(diǎn)式方程、參數(shù)方程和普通式方程，會(huì)求兩條直線(xiàn)的夾角。

?4、會(huì)判斷平面與直線(xiàn)的位置關(guān)系，判斷兩條直線(xiàn)是否共面。

?5、會(huì)計(jì)算點(diǎn)到平面的距離、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、異面直線(xiàn)的距離，會(huì)求異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)方程。

三、特殊曲面和二次曲面

考試內(nèi)容

?球面、圓柱面和圓錐面方程，柱面、錐面及旋轉(zhuǎn)面方程，空間曲線(xiàn)和曲面的參數(shù)方程，二次曲面，單葉雙曲面和雙曲拋物面的直紋性。

考試要求

?1、掌握球面、圓柱面和圓錐面方程的求法。

?2、掌握柱面、錐面及旋轉(zhuǎn)面方程的特點(diǎn)。特別是直母線(xiàn)是坐標(biāo)軸時(shí)柱面的特點(diǎn)、頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)錐面的特點(diǎn)、旋轉(zhuǎn)軸是坐標(biāo)軸時(shí)旋轉(zhuǎn)面方程的特點(diǎn)。

?3、知道代表性空間曲線(xiàn)（如直線(xiàn)、圓周、圓柱螺線(xiàn)等）的參數(shù)方程，代表性空間曲面（如平面、球面、旋轉(zhuǎn)面等）的參數(shù)方程，知道球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的關(guān)系。

?4、知道各種二次曲面的類(lèi)型和標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)判斷一個(gè)二次方程代表哪種類(lèi)型的二次曲面。

?5、能寫(xiě)出單葉雙曲面和雙曲拋物面的直母線(xiàn)方程。

四、坐標(biāo)變換與一般二次曲線(xiàn)（面）的討論

考試內(nèi)容

?坐標(biāo)變換，一般二次曲線(xiàn)方程和二次曲面方程的化簡(jiǎn)，二次曲線(xiàn)的不變量及類(lèi)型判別，二次曲線(xiàn)的切線(xiàn)、法線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)性。

考試要求

?1、理解坐標(biāo)變換的過(guò)渡矩陣的性質(zhì)，掌握坐標(biāo)變換公式及其應(yīng)用。

?2、掌握用坐標(biāo)變換化簡(jiǎn)二次曲線(xiàn)方程和二次曲面方程的一般方法。

?3、掌握用不變量判斷二次曲線(xiàn)類(lèi)型的方法以及用不變量給出標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。

?4、會(huì)求二次曲線(xiàn)的切線(xiàn)、法線(xiàn)和對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心。